鋼琴鍵盤的頻率
唐望

從小我就五音不全，很少唱歌，不像我兒，沐浴時喜歡高聲唱「歌劇魅影」。他小時候，我們買了一台 二手的Yamaha小三角（Baby Grand ) 平台式鋼琴，請了家教。他十歲時無師自通做了一曲《I learn how to tie my shoelaces》莫名其妙得個無名小獎。五年級，PTA 在Town and Country Hotel 年會，他被邀請去彈《Somewhere Out There》，老師給他十元紅包。他學琴到高中畢業離家上大學，臨行前還特別交代，鋼琴是他的，不可以賣掉，於是乎這個鋼琴也成為我們家的傳家寶。雖說是觀賞裝飾品，例行的維護還是要做，三不五時要調音，弦斷了要換...等等，我也偶爾會用「一指神功」去按熟悉的「望春風」。

一般的鋼琴有88個鍵，主要由七個完整的「八度」所組成，每個八度有12個鍵 - 七白五黑，每個鍵分別稱為C C# D D# E F F# G G# A A# B，這也就是大家熟悉的Do Re Mi Fa So La Xi 。從左算起第49個鍵叫A4(也是第四個完整八度音段的A鍵），是個調音鍵，它的頻率是440Hz。任何兩個相鄰有個黑鍵在中間的白鍵的頻率差是一個全音(F到B之間和C到E之間)，沒有黑鍵在中間的兩相鄰白鍵的頻率差是半音，任何相鄰黑白兩鍵的頻率差也是半音。全音的頻率差(q)是1.12246204831，半音的頻率差(p)是1.05946309436，換言之B4和A4差一個全音，B4的頻率等於440 x q = 493.88，而A4# 和A4差一個半音，因此A4#的頻率就是440 x p = 466.16，鋼琴所有鍵的頻率除了七個A鍵是整數(A0是有理數)之外，其它都是無理數。八個A鍵的頻率分別是：A0 = 27.5; A1 = 55; A2 = 110; A3 = 220; A4 = 440; A5 = 880; A6 = 1760; A7 = 3520。用我們初中代數的名詞來說：鋼琴鍵盤的頻率是個「等比級數」。

那麼p和q這兩個數字又是怎麼算出來的呢？簡而言之，q是2的6次方根而p是2的12次方根(12√2)，而且q = p x p。如果把q自己乘自己，乘6次的結果就等於2 ，q x q x q x q x q x q = 2，p亦同理，自乘12次後等於2。如果你不相信這個結果，去問谷哥哥（Google)吧，問它”2的6次方根是啥？” 谷哥哥就會告訴你正確的答案。如果用普通會計用的電子計算機是算不出這個答案的。

以上所述安排鋼琴鍵盤頻率的方式叫做「十二平均律」，最早是明朝萬曆年間(西元1584年)皇族王子朱載堉，在他所著的《新法密律》所提出，當時他用有81檔的算盤，把2的12次方根(12√2)，精算到小數點以後的24位數，後來可能經過西方傳教士利瑪竇傳回歐洲，才突破當時製作樂器的盲點，又碰巧遇上文藝復興，西方音樂走向巔峰。根據古書的記錄，朱載堉算出 P的零次方到的十二次方結果如下：

P ^ 0 = 1.000000000000000000000000 = (12√2)0
P ^ 1 = 1.059463094359295264561825 = (12√2)1
P ^ 2 = 1.122462048309372981433533 = (12√2)2
P ^ 3 = 1.189207115002721066717500 = (12√2)3
P ^ 4 = 1.259921049894873164767211 = (12√2)4
P ^ 5 = 1.334839854170034364830832 = (12√2)5
P ^ 6 = 1.414213562373095048801689 = (12√2)6
P ^ 7 = 1.498307076876681498799281 = (12√2)7
P ^ 8 = 1.587401051968199474751706 = (12√2)8
P ^ 9 = 1.681792830507429086062251 = (12√2)9
P ^ 10 = 1.781797436280678609480452 = (12√2)10
P ^ 11 = 1.887748625363386993283826 = (12√2)11
P ^ 12 = 2.000000000000000000000000 = (12√2)12

鋼琴每「八度」十二個鍵之間的關係，是沒有什麼何時開始、何時結束的，它像是一個無限的彈簧絲一樣，越轉越長，兩邊都盡頭。如果把鋼琴的黑鍵改成白色的鍵，八十八個鍵一字排開之後，用人的耳朵無法找到C4(Middle C)在那裡，連號稱有絶對音感莫札特也不行。換言之，用十二音程為理論基礎製作出來的鋼琴，可以為任何音域的歌手伴奏，常唱卡拉OK都會要升或降幾個key的原因在此。理論上鋼琴鍵盤仍可以向左右延伸，如此一來延伸的低音部只有大象聽的到，而高音部分只有昆蟲會有反應，人的耳朵是聽不到的。

樂器的音域是指這個樂器能夠發出聲音的頻率範圍，即使把所有大、中、小、低音提琴歸為一類，鋼琴的音域還是比所有提琴的音域合起來還要廣。和在聖地牙哥Balbo Park全世界最大的「戶外管風琴」比起來，鋼琴要比它多兩個「八度」，因為鋼琴(88鍵）可彈七個八度，而它（61鍵）只能彈五個。鋼琴是如何達成這個「不可能的任務」呢？讓我們來檢視一下鋼琴弦的結構。

以我家Yamaha三角平板鋼琴為例（直立型較不易看出），打開琴蓋後，所有的琴弦進入眼簾，從C3#以上高音的弦都是每鍵三條的鋼絲，而低音部弦的構造則明顯的不同，它們都是一條(A0 - F1#)或兩條(G1 - C3)的鋼絲，每條鋼絲還包捲在外一條細細的金屬細線，由於附加的金屬細線改變了鋼絲質量的結構分布，因此降低了振動的頻率，使得鋼絲的長度得大幅減短。將振動鋼絲包捲金屬細線的作法，是一個鮮為人知的偉大發明，這是鋼琴能夠成為音域最廣的樂器的主要原因。如果不是用這個特殊製作鋼琴低音琴弦的做法的話，鋼琴C1和C2這兩個「八度」一定發不出聲音。

鋼琴鍵的頻率是固定的，因此無法像弦樂器如小提琴一樣，拉出長長的滑音。然而一些技巧高超的鋼琴師，會很快速的彈奏一大串相連的鍵，來展現出滑音的效果。

由於鋼琴的琴弦振盪的頻率和弦的張力有關，張力越強、頻率越高。然而這個張力因為金屬的彈性疲乏，張力會隨著時間而降低，使得頻率也隨之降低，因此每隔一段時間，鋼琴必須要調音。傳統的作法是用一個和A4鍵頻率（440Hz)相同的音叉為標準，一面敲擊音叉一面彈A4鍵，兩者會因聲波調變，産生一個頻差波，調音的目標就是把弦的張力提升到頻差波歸零為止。A4 鍵調準後，再用A4鍵分別向左右去調A3和A5鍵，直到所有的A鍵都調準。所有其他的鍵則根據最靠近的一個A鍵來調音。

這種傳統的作法，耗力費時，而且要受專業的訓練才行。由於科技的進步，現在到普通的樂器行或是Amazon就可以用$50買一個鋼琴調音器，隨便按鋼琴的任何一個鍵，調音器就會確認說，這是那一個鍵，並告訴你弦的張力要增加還是減少，由於多數的鍵有三根弦，每個三弦鍵要分三次調準。

古代中國和世界其他地區一樣，樂器的演進從五個音 - 宮、商、角、徵、羽開始，不論管樂器如笛、簫，或是弦樂器如胡琴、古箏等都是如此。五個音的頻率和弦或管的長度有真接的關係，當時是用「三分損益法」來訂樂器的長度，使用方法如下：首先訂出五音最低音的長度，把它叫做基本音「宮」，然後把「宮」平均切為三份，把其中兩份加起來的長度就是「徵」，再把「徵」的長度平均切為三份，把其中一份加回到「徵」的長度上成為「商」，把「商」的長度平均切為三份，其中兩份加起來就是「羽」，再把「羽」的長度平均切為三份，把其中一份加回到「羽」的長度上成為「角」。

讓我們看一個實際的例子：

(1) 假設宮是基本音，其長度=81
(2) 徵=81x2/3=54（損）
(3) 商=54x4/3=72（益）
(4) 羽=72x2/3=48（損）
(5) 角=48x4/3=64（益）
從這個例子可以看出「三分損益法」包含「三分損一」（2/3）和「三分益一」（4/3）的含義。

「三分損益法」比古希臘的數學家畢達哥拉斯所提出的《律制》要早一百年左右，之後阿拉伯人也有類似「量音學」，這些數理都是相通的。

宮、商、角、徵、羽這五個中國古音，和鋼琴的五個黑鍵C# D# E# G# A# 大致可以相對應。有人說鋼琴的黑鍵是讓黑人彈的，其實不然，這是個帶有歧視的誤會，難道就白鍵就是讓白人彈的嗎？然而只用黑鍵的確是可以彈出比較簡單的歌曲，而且用黑鍵可以”模擬”我五音不全的那五個音 - Do Re Me So La. 譬如「望春風」就可以只用黑鍵彈。

鋼琴被公認為「樂器之王」是有原因的：（1）由於鋼琴是用十指彈奏，理論上可以同時發出十個不同的聲音，實際上同時按三五個鍵的情事經常發生；（2）鋼琴的音域超廣從最低的A0（27.5Hz)到最高的C8(4186.01Hz)，這兩音之間，依固定的比例細分出86個音階，這種音域可以和幾乎所有其他的管弦樂器一起演奏；（3）樂譜極多，是合唱團伴奏樂器的首選；（4）彈奏基本技巧不難學習，入門門檻不高；（5）樂器普及，幼稚園、小學、教堂、禮堂等到處都能看到; (6) 頻率固定，沒有走音問題; (7) 能夠彈奏的人眾多。林林總總，信手拈來就可以寫出鋼琴這麼多的優點，由此可見「樂器之王」的稱號其來有自、當之無愧、實至名歸。